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已知抛物线\(C\)：\(y^2=4x\)，焦点为\(F\)，过点\(P(-1,0)\)作斜率为\(k(k>0)\)的直线\(l\)与抛物线\(C\)交于\(A,B\)两点，\(AF,BF\)分别交抛物线\(C\)于\(M,N\)两点，若\(\dfrac{AF}{FM}+\dfrac{BF}{FN}=18\)，则\(k=\underline{\qquad\blacktriangle\qquad}.\)

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看出什么结论了吗？

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该结论的证明详见圆锥曲线的108条二手结论。

易得，\(\dfrac{NF}{BF}+\dfrac{BF}{NF}=18\Rightarrow\dfrac{BF}{NF}=9+4\sqrt{5}\)，

其中\(|BF|=|FP|+|BF|\cos\theta,|NF|=|FP|-|NF|\cos\theta\)，其中\(\theta\)为直线\(BF\)的倾斜角，

\(\Rightarrow\dfrac{BF}{NF}=9+4\sqrt{5}=\dfrac{1+\cos\theta}{1-\cos\theta}\Rightarrow\cos\theta=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}\)

也就易得，\(k=\dfrac{\sqrt{5}}{5}.\)

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